آموزش آمار و احتمالات مهندسی از پایه تا پیشرفته

آموزش آمار و احتمالات مهندسی موضوع مورد بحثِ این نوشته است. آمار و احتمالات جزو دروس مهم در بسیاری از رشته های دانشگاهی و خصوصا رشته های مهندسی است. به همین دلیل، دوره های زیادی برای آموزش آمار و احتمالات مهندسی در اینترنت وجود دارند. همانطور که می‌دانید احتمالات، به علم شانس، و آمار به علم تفسیر داده ها معروف است. آمار و احتمالات بلوک های سازنده انقلابی ترین فناوری ها در دنیای امروز هستند. از هوش مصنوعی گرفته تا یادگیری ماشینی و بینایی کامپیوتری، پیش بینی آب و هوا، تعیین اثربخشی دارو ها و… حتی در انواع بازی های موبایلی و کامپیوتری نیز از این دو شاخه از ریاضیات استفاده می‌شود.

به طور کلی تر، آمار و احتمالات به افراد و مؤسسات کمک می‌کند تا با یادگیری از رویدادهای گذشته و به کارگیری این دانش در زمان حال، تصمیمات بهتری برای آینده بگیرند. با مطالعه این نوشته، اطلاعات کلیِ شما در مورد آمار و احتمالات افزایش می یابد. همچنین درک خواهید کرد که در دوره های آموزش آمار و احتمالات مهندسی، تقریبا چه سرفصل ها و مطالبی به شما آموزش داده می‌شوند.

چند مورد از فواید کلی یادگیری آمار و احتمالات

• آمار و احتمالات، علمِ یادگیری از داده ها هستند. این علوم به شما کمک می‌کنند در جمع‌آوری داده‌ها، تحلیل صحیح آنها و نتیجه گیری از آنها موفق تر عمل کنید.
• آمار و احتمالات، فرآیندهایی حیاتی هستند که با اکتشافات در علم، تصمیم گیری بر اساس داده ها و پیش بینیِ نتایج علمی، پیوندی عمیق دارند.
• آمار و احتمالات، به شما امکان می دهند که موضوعات را بسیار عمیق تر درک کنید.
• مطالعه آمار و احتمالات در جوامع مدرن، بسیار مهم است زیرا متخصصین این علوم، راهنماهایی ماهر برای حل مشکلات رایج فعلی هستند. آنها می‌توانند شما را از نتیجه گیری های نادرست دور نگه دارند. به علاوه با توجه به اهمیت روزافزون تحلیل‌های مبتنی بر داده‌ها، بسیار مهم است که بتوانید کیفیت تحلیل‌های دیگران را به صورت انتقادی، ارزیابی کنید.
• آمار و احتمالات، شاخه هایی هیجان انگیز از علم، برای کشف، یادگیری و به چالش کشیدن مفروضات شما هستند.
• آمار و احتمالات، ایجاد دانش های جدید را تسهیل می کنند. به کمک آنها می‌توانید ذره ذره، مرز معلومات خود را گسترش دهید.

رابطه بین آمار مهندسی و احتمالات

برای دانشجویان مبتدی ای که قصد شروع آموزش آمار و احتمالات مهندسی را دارند درک تفاوت‌ها و شباهت‌های بین احتمال و آمار، بسیار مهم است. باید بدانید که این دو گرایش از ریاضیات، حاوی موضوعات متفاوت، اما مرتبطی هستند. احتمال، یک موضوع نظری است که برای تجزیه و تحلیلِ احتمال وقوع رویدادها در آینده استفاده می‌شود. نظریات احتمال، برای تجزیه و تحلیل داده های جمع آوری شدۀ گذشته، قابل استفاده هستند. احتمال و آمار از این جهت به هم مرتبط هستند که تئوری‌هایی موجود در ریاضیاتِ احتمالات با یافته‌های آماری، مقایسه می شوند. این مقایسه ها اطلاعات زیادی در مورد داده ها به ما خواهند داد.

آمار و احتمالاتمهندسی چه تفاوتی با آمار و احتمالات عمومی دارد؟

در واقع آمار و احتمالات مهندسی، همان آمار و احتمالاتی است که در دیگر رشته های دانشگاهی نیز وجود دارند. منتها در کتاب ها و دوره های آموزش آمار و احتمالات مهندسی روی مباحثی از آمار و احتمالات تمرکز می‌شود که کاربرد بیشتری در مهندسی دارند. برای درک بهتر جنبه های تخصصیِ علوم کاربردی مختلف و از جمله آمار و احتمالات، توصیه می‌شود به فرادرس مراجعه کنید. فرادرس مرجعی برتر برای توضیح کاربرد علوم به زبان ساده است.

• مجموعه آموزش آمار و احتمالات — کلیک کنید

تعریف آمار مهندسی

آمار مهندسی یا هر نوع آمار دیگری که می شناسید حوزه ای از ریاضیات کاربردی است. به وسیله آمار، می‌توان داده ها را برای نتیجه گیری های مهم، تجزیه و تحلیل کرد. آمار یا آمار مهندسی را می توان اینگونه نیز تعریف کرد؛ شاخه ای از ریاضیات کاربردی که شامل جمع آوری، توصیف، تجزیه و تحلیل و استنتاج نتایج از داده های کمی است.

تعریف احتمالات مهندسی

در دوره های آموزش آمار و احتمالات مهندسی، معمولا ابتدا آمار آموزش داده می‌شود و در مرحله بعد به مباحث احتمالات می رسید. احتمالات نیز شاخه ای از ریاضیات است که احتمال وقوع رویدادها را به ما می‌گوید. احتمالِ وقوع یک رویداد همیشه کسر، اعشار یا درصدی بین صفر و 1 است. فقط چند چیز وجود دارند که مردم به طور قطعی از آنها مطمئن هستند. برای هر چیز دیگری، شانس و احتمال وجود دارد. رایج‌ترین مثالی که شاید هنگام یادگیریِ احتمال، شنیده باشید احتمال شیر یا خط آمدن سکه ها است. یک شانس 50/50 و مساوی برای هر دو حالت وجود دارد. فرمول رایجی نیز برای محاسبه احتمال وقوع رویدادها در دوره های آموزش احتمالات مهندسی وجود دارد. این فرمول می‌گوید احتمال وقوع هر رویداد برابر است با تعداد راه هایی که رویداد می تواند رخ دهد تقسیم بر تعداد کل نتایج. احتمالات، دقیق نیستند بلکه صرفا یک سری تخمین ها هستند که می‌تواند به ما کمک کنند.

بررسی اجمالیِ انواع آمار

در این نوشته و در اکثر دوره های آمار و احتمالات، با واژه هایی مانند آمار توصیفی روبرو خواهید شد. برای درک بهتر، بیایید قبل از هر چیز انواع آمار را با هم مرور کنیم. دو گرایش یا دو نوعِ مشهور از آمار عبارتند از:

آمار توصیفی و آمار استنباطی. آمار توصیفی، روشی است که برای توصیف و درک ویژگی های یک مجموعۀ خاص از داده ها استفاده می شود. این نوع آمار از طریق خلاصه سازی داده های جمع آوری شده کار می کند. آمار توصیفی عمدتاً بر ویژگی های اصلی داده ها متمرکز است و در نهایت نیز خلاصه ای گرافیکی از داده ها ارائه می دهد. پراکندگی و گرایش به مرکزیت، دو موضوع محوری در آمار توصیفی هستند. آمار استنباطی نیز نتایج حاصل از نمونه گیری از جامعه را به کل جامعه، تعمیم می دهد و از احتمالات برای نتیجه گیری استفاده می کند. این نوع از آمار به ما اجازه می دهد تا پارامترهای مورد نیاز خود را بر اساس مدل‌های آماریِ حاصل از نمونه گیری، استنباط کنیم.

• آموزش برنامه نویسی R و نرم افزار RStudio — مقدماتی
• آموزش برنامه نویسی R و نرم افزار RStudio — تکمیلی

سه حوزۀ کاریِ اصلی در مسائل آمار مهندسی

همانطور که گفتیم آمار، مربوط به تجزیه و تحلیل و تفسیر داده های جمع آوری شده است. آمار مهندسی نیز همین گونه است. داده هایی که در مباحث آماری و خصوصا در رشته های مهندسی جمع آوری می شوند معمولاً حاوی اعداد بسیار زیادی هستند. مغز انسان به آسانی قادر به درک این حجم از اطلاعات نیست. اما علم آمار، خود دارای ابزارهای خاصی است که می‌توان به کمک آنها مسائل را آسانتر و قابل فهم تر کند. دقیقا به همین دلیل است که برای درک بهتر پیچیدگی‌ها در داده هایی که جمع آوری می‌کنیم به آمار نیاز داریم. در سوالات آماری و به ویژه در آمار و احتمالات مهندسی، دانشجویان برای رسیدن به جواب باید سه کار زیر را انجام دهند.

• جمع آوری داده های آماری
• تحلیل و بررسی در آمار مهندسی
• تجسم داده ها در آمار مهندسی

جمع آوری داده های آماری

بسته به نوع سوالات آمار مهندسی، نوع داده‌ها و شیوه جمع آوری آنها متفاوت خواهد بود. ممکن است برای جمع آوری داده ها لازم باشد آزمایشات علمی انجام دهید. یا شاید هم جمع آوری داده ها از طریق مشاهده انجام شود. اما به طور کلی همه داده هایی که جمع آوری می کنید به دو دسته کیفی و کمی تقسیم می‌شوند. داده های کیفی به داده های توصیفی مانند کلمات اشاره دارند. این داده ها ممکن است از طریق مصاحبه یا نظرسنجی، جمع آوری شود.

داده‌های کمی در آمار مهندسی به چیزهایی اشاره دارند که می‌توان آنها را با استفاده از اعداد نشان داد مانند قد، وزن و غیره. داده های کمی به دو دسته، تقسیم می شوند: پیوسته و گسسته. متغیرهای پیوسته می توانند هر مقداری را در یک محدوده دریافت کنند. این موضوع می تواند شمارش داده های کمی پیوسته را برای ما دشوار تر کند. مثلا، طول را می توان تا آنجا که ممکن است با اعشار اندازه گیری کرد. این به جمع‌آورنده داده ها بستگی دارد که تصمیم بگیرید تا چند رقم اعشار برای اندازه گیری ها لازم است. در مورد داده ها یا متغیر‌های گسسته نیز باید بدانید که این متغیرها در یک محدوده، مقادیر عددی خاصی را دریافت می کنند. شمارش متغیر های کمیِ گسسته، آسان‌تر است مثلا سایز کفش، می‌تواند 4 یا 4.5 باشه ولی نمی‌تواند عددی شبیه 4.26735 باشد.

دو اصطلاح مهم در مرحله جمع آوری داده ها درآمار مهندسی

جامعه یا جمعیت: گروه یا مجموعه ای از افراد، اشیاء یا رویدادهایی که قرار است خصوصیات آنها مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد.

نمونه: زیر مجموعه ای از جامعه است. یک نمونه که به درستی انتخاب شده است حاوی بیشتر اطلاعات مربوط به یک پارامتر خاصِ جمعیتی است. اکنون شاید بپرسید که چگونه باید نمونه ای را انتخاب کرد که به بهترین نحو بیانگر خصوصیات کل جمعیت باشد. در آموزش آمار و احتمالات مهندسی بهترین تکنیک های نمونه برداری را نیز از همان ابتدا یاد خواهید گرفت. همانطور که می‌دانید نمونه گیری یک روش آماری است که به انتخاب مشاهدات فردی در یک جامعه می پردازد. این کار برای استنباط دانش آماری در مورد یک جامعه انجام می شود.

رایج ترین روش‌های نمونه گیری آماری

نمونه گیری احتمالی: این یک روش نمونه گیری است که در آن با استفاده از تئوری های احتمال، نمونه هایی از یک جمعیت بزرگ انتخاب می شوند. سه نوع از نمونه گیری احتمالی وجود دارند که عبارتند از:

• نمونه گیری تصادفی
• نمونه گیری سیستماتیک
• نمونه‌گیری طبقه‌ای

تحلیل و بررسی در آمار مهندسی

در آمار مهندسی، هنگامی که داده های خود را جمع آوری کردید، باید این داده ها را تجزیه و تحلیل کنید. درک داده های خام، بسیار دشوار و در برخی از موارد غیرممکن است. بنابراین ما باید این داده ها را قابل مدیریت، متراکم و قابل درک تر کنیم. این همان هدف نهایی آمار است یعنی درک، توصیف و یافتن اطلاعاتِ معنی دار از مجموعۀ داده ها. در بخش تجزیه و تحلیل داده ها در آمار مهندسی می توانید از ابزارهای زیر استفاده کنید. این ابزارها جزو ابزارهای آمار توصیفی هستند. برخی از این ابزارها عبارتند از:

• میانه: مقدار وسط در لیست مرتب شده از مقادیر.
• دامنه: بزرگترین مقدار منهای کوچکترین مقدار از داده
• محدوده بین چارکی: این محدوده ربع مرکزی داده ها را توصیف می کند، محدوده ای بین 25٪ و 75٪ که میانه را در 50٪ احاطه می کند.

داده ها در آمار مهندسی، اغلب در جداول فراوانی نشان داده می شوند. فراوانی به تعداد دفعاتی اشاره دارد که چیزی اتفاق می افتد. این دفعات در مورد آمار، تعداد دفعاتی است که یک مقدار خاص از داده ها اتفاق می‌افتد. از جدول فراوانی، می توانید ابزارهای آمار توصیفی مانند موارد ذکر شده در بالا را استخراج کنید. همچنین می توانید از این جداول برای تجسم داده ها استفاده کنید.

تجسمداده ها در آمار مهندسی

آمار توصیفی در فشرده سازی داده های با مقادیر کم مفید است و می تواند در مورد مکان و گسترش داده ها به ما بگوید. منتها این به تنهایی کافی نیست. بخش نهایی آمار مهندسی تجسم داده هاست. این بخش از آمار مهندسی به ما کمک می کند داده ها را به صورت گرافیکی به تصویر بکشیم. برای تجزیه و تحلیل کامل داده ها شما باید به طور مناسب هر دو روش تفسیر و تجسم داده ها را به طور کامل درک کنید. چند روش تجسم داده ها در آمار توصیفی به شرح زیر هستند:

• تجسم داده ها در آمار مهندسی به کمک نمودارهای خطی
• تجسم داده های آماری به یاری نمودار های میله
• تجسم داده ها با هیستوگرام.

برخی از اصطلاحات رایج در احتمالات مهندسی

در دروس احتمالات مهندسی، اصطلاحات زیادی وجود دارند که باید با آنها آشنا باشید. این اصطلاحات جزو مفاهیم پایه در احتمالات هستند. هر چه این مفاهیم را بهتر درک کنید ورود به مسائل پیچیده‌تر احتمالاتِ مهندسی برایتان آسانتر خواهد بود. برخی از این اصطلاحات که هم در احتمالات پایه و هم احتمالات تخصصیِ مهندسی با آنها سروکار دارید به شرح زیر هستند:

• آزمایش: یک اقدام قابل تکرار که دارای مجموعه ای مشخص از نتایج است.
• فضای نمونه: مجموعه ای از تمام نتایج ممکن برای یک آزمایش که معمولاً با ε یا S نشان داده می شوند.
• رویداد: یک رویداد، یک نتیجه خاص است که معمولا با حرف بزرگ نشان داده می شود. احتمال وقوع رویداد A معمولاً به صورت P(A) نشان داده می‌شود.
• آزمایش تصادفی: آزمایش یا فرآیندی که نتیجه آن را نمی‌توان با قطعیت پیش بینی کرد و زیر مجموعه ای از فضای نمونه است.

کلام آخر

آنچه در این نوشته خواندید، گوشه ای بود از مطالبی که در دوره های آموزش آمار و احتمالات مهندسی یاد خواهید گرفت. آمار و احتمالات، شاخه هایی پرکاربرد از ریاضیات هستند که در اکثر مشاغل، با جنبه های مختلفی از آنها سروکار خواهید داشت. برای تسلط برای مباحث پایه ای و مهم آمار و احتمالات، توصیه می‌شود به فرادرس مراجعه کنید. این سایت، منبعی غنی از دوره های آموزش آمار و احتمالات مهندسی است. دوره هایی که بیش از هرکس، دانشجویان رشته های مهندسی به ارزش واقعی آنها واقف هستند.

• آموزش آمار و احتمال مهندسی
• آموزش آمار و احتمال مهندسی – حل تمرین و تست کنکور ارشد